Fronteira eficiente

Considere um mercado com apenas dois ativos com risco (\(X\) e \(Y\)). As suas rendibilidades esperadas e desvios-padrão são apresentados abaixo. A correlação entre as rendibilidades destes ativos é \(\rho_{x,y} = 0.5\)

Ativo	Rendibilidade Esperada (\(E[r]\))	Desvio-Padrão (\(\sigma\))
X	0.12	0.2
Y	0.17	0.25

Use o controlo deslizante para alterar a carteira criada combinando os dois ativos, alterando o peso do ativo \(X\) (\(w_x\)) na carteira (\(p\)).

O que acontece quando altera o peso do ativo \(X\) na carteira?

Podemos criar uma carteira com um peso negativo num ativo? Como?

\(w_x + w_y = 1\)

\(w_y = 1 - w_x =\)

\(E[r_p] = w_x E[r_x] + (1 - w_x) E[r_y]\) =

\(\sigma_p = \sqrt{w_x^2 \sigma^2_x + w_y^2 \sigma^2_x + 2 w_x w_y cov(x,y)}\) =

viewof w_x = Inputs.range([-1.4, 1.4], {step: .01, label: "w_x", value:0.5})

er_x = 0.12
er_y = 0.17
sd_x = 0.2
sd_y = 0.25
rho = 0.5
cov = rho * sd_x * sd_y

// Create portfolios data
portfolios = {
  const data = [];
  for (let w_x = -1.4; w_x <= 1.4; w_x += 0.01) {
    const w_y = 1 - w_x;
    const er_p = w_x * er_x + w_y * er_y;
    const sd_p = Math.sqrt(w_x**2 * sd_x**2 + w_y**2 * sd_y**2 + 2 * w_x * w_y * cov);
    data.push({w_x, w_y, er_p, sd_p});
  }
  return data;
}

// Calculate minimum variance portfolio weight
w_x_min_var_port = (sd_y**2 - cov)/(sd_x**2 + sd_y**2 - 2*cov)

// Create efficient portfolios data
efficient_portfolios = portfolios.filter(d => d.w_x <= w_x_min_var_port)

// Create asset data points
asset_x = [{er: er_x, sd: sd_x, label: "X"}]
asset_y = [{er: er_y, sd: sd_y, label: "Y"}]

// Create portfolio P data based on selected w_x
portfolio_p = {
  const w_y = 1 - w_x;
  const er_p = w_x * er_x + w_y * er_y;
  const sd_p = Math.sqrt(w_x**2 * sd_x**2 + w_y**2 * sd_y**2 + 2 * w_x * w_y * cov);
  return [{w_x, w_y, er_p, sd_p, label: "P"}];
}

Plot.plot({
  caption: `Conjunto de oportunidades de investimento`,
  x: {label: "Desvio padrão", zero: true, domain: [0,0.6]},
  y: {label:"Rendibilidade esperada", domain: [0, 0.3]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.lineY(portfolios, {x: "sd_p", y: "er_p", stroke:"gray"}),
    Plot.lineY(efficient_portfolios, {x: "sd_p", y: "er_p", stroke:"blue", strokeWidth: 3}),
    Plot.dot(portfolio_p, {x: "sd_p", y: "er_p", r:5, fill: "green"}),
    Plot.dot(asset_x, {x: "sd", y: "er", r:5, fill: "red"}),
    Plot.dot(asset_y, {x: "sd", y: "er", r:5, fill: "brown"}),
    Plot.text(portfolio_p, {x: "sd_p", y: "er_p", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
    Plot.text(asset_x, {x: "sd", y: "er", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
    Plot.text(asset_y, {x: "sd", y: "er", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
  ]
})

Plot.plot({
  caption: `Rendibilidade esperada da carteira em função do peso do activo X na carteira`,
  x: {label: "Peso do activo X na carteira", zero: true},
  y: {label:"Rendibilidade esperada da carteira", domain: [0, 0.3]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.lineY(portfolios, {x: "w_x", y: "er_p", stroke:"orange"}),
    Plot.dot(portfolio_p, {x: "w_x", y: "er_p", r:5, fill: "green"}),
    Plot.text(portfolio_p, {x: "w_x", y: "er_p", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
  ]
})

Plot.plot({
  caption: `Desvio padrão da carteira em função do peso do activo X na carteira`,
  x: {label: "Peso do activo X na carteira", zero: true},
  y: {label:"Desvio padrão da carteira", domain: [0,0.6]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.lineY(portfolios, {x: "w_x", y: "sd_p", stroke:"green"}),
    Plot.dot(portfolio_p, {x: "w_x", y: "sd_p", r:5, fill: "green"}),
    Plot.text(portfolio_p, {x: "w_x", y: "sd_p", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
  ]
})