Ativo com risco + ativo isento de risco

Considere uma economia simples com apenas dois ativos: um ativo sem risco (\(r_f\)) e um ativo com risco (\(r_p\)). Pode investir numa carteira (\(c\)) que é composta pelo ativo sem risco, ou pelo ativo com risco, ou por uma combinação dos dois ativos. A proporção que escolhe investir no ativo com risco é aqui representada por \(y\). \(A\) é o coeficiente de aversão ao risco do investidor, e assumimos que a função de utilidade esperada do investidor é dada por:

\[ E[U(r_c)] = E[r_c] - \frac{A}{2} \sigma_{r_c}^2 \]

A linha azul no gráfico abaixo representa todas as oportunidades de investimento possíveis, e é designada como linha de alocação de capital (LAC).

O ponto laranja no gráfico representa a carteira que resulta da combinação do ativo sem risco e do ativo com risco, onde a proporção investida no ativo sem risco é \((1−y) =\) , e a proporção investida no ativo com risco é \(y =\) .

Assuma a seguinte informação sobre os ativos:

\(r_f=\)

\(E[r_p]=\)

\(\sigma_{r_p}=\)

Use o controlo deslizante abaixo para ver como a alteração da proporção que investe no ativo com risco altera o risco e o retorno da carteira \(c\).

viewof y = Inputs.range([0, 1.7], {step: .01, label: "y", value:0.5})
viewof A = Inputs.range([1, 4], {step: .1, label: "A", value:4.0})

e_r_p = 0.1;
sd_r_p = 0.22;
r_f = 0.02;
  
// Calculate portfolio values based on y and A
function calculateValues(y, A) {
  // Expected return and variance of portfolio c
  let e_r_c = y * e_r_p + (1 - y) * r_f;
  let var_r_c = Math.pow(y, 2) * Math.pow(sd_r_p, 2);
  
  // Utility
  let u = e_r_c - (A/2) * var_r_c;
  
  // Generate indifference curve data
  const ic = Array.from({length: 40}, (_, i) => {
    let sd = i * 0.01;
    return {
      sd: sd,
      y_ic: u + (A/2) * Math.pow(sd, 2)
    };
  });
  
  // Label for indifference curve
  let label_ic = {
    sd: ic[ic.length-15].sd,
    y_ic: ic[ic.length-15].y_ic,
    label: `A: ${A}; E[U(r)] = ${u.toFixed(5)}`
  };
  
  // Generate CAL data
  let cal = Array.from({length: 200}, (_, i) => {
    let y_val = i * 0.01;
    return {
      y: y_val,
      e_r_c: y_val * e_r_p + (1 - y_val) * r_f,
      sd_r_c: y_val * sd_r_p
    };
  });
  
  // Point p (risky asset)
  let p = {
    e_r: e_r_p,
    sd: sd_r_p,
    label: "p"
  };
  
  // Point c (portfolio)
  let c = {
    e_r: e_r_c,
    sd: Math.sqrt(var_r_c),
    label: "c"
  };
  
  return {
    ic: ic,
    label_ic: label_ic,
    cal: cal,
    p: p,
    c: c
  };
}

// Create reactive values that update when y or A changes
results = calculateValues(y, A)

ic = results.ic;
label_ic = [results.label_ic];
cal = results.cal;
p = [results.p];
c = [results.c];

Plot.plot({
  caption: `Conjunto de oportunidades de investimento`,
  x: {label: "Desvio padrão", domain:[0, .40]},
  y: {label:"Rendibilidade esperada", domain:[0, 0.16]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.lineY(cal, {x: "sd_r_c", y: "e_r_c", stroke:"blue"}),
    Plot.dot(p, {x: "sd", y: "e_r", r:5, fill: "red"}),
    Plot.text(p, {x: "sd", y: "e_r", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
    Plot.dot(c, {x: "sd", y: "e_r", r:5, fill: "orange"}),
    Plot.text(c, {x: "sd", y: "e_r", text: "label", dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
    Plot.lineY(ic, {x: "sd", y: "y_ic", stroke:"black"}),
    Plot.text(label_ic, {x: "sd", y: "y_ic", text: "label", dx: -22, dy: -7, lineAnchor: "bottom", fontSize: 12}),
  ]
})

Este investidor maximiza a sua utilidade investindo \(y= \frac{E[r_c] - r_f}{A\sigma^2_{r_p}}\) =

Estamos aqui a assumir que os investidores podem pedir emprestado à taxa sem risco para investir no ativo com risco. Como sabemos isso? O que muda quando isso não é possível?